Las matemáticas egipcias
Entre los numerosos documentos del Imperio Faraónico que han llegado a nuestros días, los de tipo matemático son realmente muy escasos. Concretamente el papiro matemático de Rhind, el papiro matemático de Moscú, el denominado “rollo de cuero” y los papiros de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin, son los únicos documentos de que disponemos para poder hacernos una ligera idea del conocimiento científico de aquella época.
Los dos primeros son los más conocidos e importantes. Datan del 1800 a.C. y del 1650 a C. respectivamente, aunque con toda probabilidad, el papiro de Rhind es una copia de otro más antiguo, aproximadamente del 2000 a.C.
Estos papiros contienen una serie de problemas y su resolución. Concretamente, el de Moscú plantea 25 problemas y el de Rhind 87. En ellos hay una gran variedad de temas matemáticos: repartos proporcionales, ecuaciones lineales, progresiones aritméticas y geométricas, cálculos de áreas y volúmenes, pesos, etc., lo que hace pensar que estos documentos fueron escritos con intención pedagógica.
Una de las cosas que más ha llamado la atención ha sido la existencia de ciertas reglas de cálculo y sobretodo algunas tablas específicas que proporcionaban al escriba una destreza extraordinaria en el manejo de los números, especialmente los fraccionarios.
Antes de seguir, hay que aclarar que la ciencia y los conocimientos del antiguo Egipto se enseñaban de unos escribas a otros, de generación en generación, tal como se había aprendido durante siglos. No se han encontrado demostraciones de sus métodos. Hay comprobaciones, pero no demostraciones. Tampoco sabemos como deducían sus fórmulas, aunque en alguno de los casos podamos intuirlo.
Los antiguos egipcios utilizaban el sistema decimal para la numeración.
Las operaciones básicas
Las sumas y restas las realizaban de una forma muy similar a la que se hace con un ábaco. Sumar consistía en una simple escritura numérica en serie, añadían los símbolos correspondientes de los números y cuando había una cantidad de símbolos igual a la de un número de rango superior, simplemente los eliminaban y colocaban el símbolo correspondiente al de dicho número. Para las restas simplemente eliminaban las cifras a restar.
Respecto a las multiplicaciones y las divisiones, se basaban en sumas, las realizaban duplicando números cuyos resultados luego sumaban parcialmente para obtener el producto correspondiente.
Por ejemplo, para multiplicar 23 por 45, duplicaban el valor 45 y el valor obtenido lo volvían a duplicar de nuevo y así sucesivamente las veces necesarias. Después, señalaban en la columna de la izquierda los números cuya suma es 23 y en la columna de la derecha sumaban las cifras correspondientes para obtener el resultado:
1 * 45 *
2 * 90 *
4 * 180 *
8 360
16 * 720 *
Total 23 1035
En este caso se han sumado los valores de la columna de la izquierda, marcados con el asterisco, hasta obtener el valor de 23, a estos les corresponden unos valores de la columna de la derecha (el resto de los valores se desecha) cuya suma es 1035, que es el resultado buscado. Para el caso de la división, el proceso era similar a la multiplicación, consistía en duplicar el divisor, por ejemplo para dividir 216 entre 12, procedían de la misma manera:
1 12
2 * 24 *
4 48
8 96
16 * 192 *
Total 18 216
Ahora sumaban los valores correspondientes de la columna de la derecha para obtener 216 (En este caso 192 + 24). A estos valores le corresponden el 2 y el 16 de la columna de la izquierda, que sumados dan 18, el valor buscado.
Los números fraccionarios
El caso de los números fraccionarios era bastante peculiar, pues debido a los métodos con que operaban, sólo utilizaban fracciones de numerador igual a la unidad, es decir utilizaban fracciones siempre del tipo 1/2, 1/3, 1/5 o 1/34, pero nunca del tipo 4/5, 6/8 o 7/45, con excepción de las fracciones 2/3 y 3/4. Por tanto, todas las fracciones con numerador distinto de uno se reducían a sumas de fracciones unitarias, de numerador unidad.
Los números fraccionarios se representaban colocando el signo del numero y encima el signo de la boca abierta correspondiente al signo D21 según la clasificación de Gardiner. Así, por ejemplo 1/10 lo representaban como. La multiplicación de un número por una fracción se hace de la misma forma anterior. Por ejemplo para multiplicar 20 por 3/4:
1 3/4
2 1 1/2
4 * 3 *
8 6
16 * 12 *
Total 20 15
En este caso, tan sólo tiene una pequeña complicación la duplicación de la fracción ¾ para obtener 1 + ½, operación bastante común, que no representaría problema a ningún escriba, además las fracciones rápidamente desaparecen al iniciar el proceso, sin embargo no era así en otros casos, donde al realizar el proceso de la duplicación aparecerán fracciones de numerador 2, por ejemplo 2/5, 2/6, 2/8 o 2/47, las cuales no eran representadas y debían de ser reducidas a sumas de fracciones unitarias. Pero eso sí, lo más simples o “útiles” posible para seguir operando, según sus reglas.
Si el denominador es par, la cosa era sencilla, así por ejemplo 2/6 o 2/8 se reducían fácilmente a 1/3 y 1/4 respectivamente, no había problema, pero ¿y si el denominador era impar? ¿Cómo reducían a sumas de fracciones unitarias 2/7 o 2/43, por poner un ejemplo?
Aquí es donde se utilizaba la denominada Tabla del Recto del papiro matemático de Rhind. En ella se expresan en forma de sumas de fracciones unitarias, todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar comprendidos entre 3 y 101. Es decir fracciones del tipo 2/x, donde x es un numero impar. Sin embargo, dicha tabla, guarda ciertas sorpresas que pasamos a analizar a continuación.
La Tabla del Recto
Se sabe que los escribas disponían de tablas, de tal manera que para realizar cálculos laboriosos o rutinarios, éstas les resultasen útiles e hiciesen más rápido su trabajo sin equivocarse.
La más sorprendente de todas ellas es la mencionada anteriormente, la tabla del Recto del papiro matemático de Rhind (Tabla 2). Esta tabla fue analizada minuciosamente por Richard J. Gillings en su libro “Matemáticas en el tiempo de los faraones”.
Tabla del Recto del Papiro de Rhind
(se han representado sólo los denominadores) Divisor Fracciones unitarias Divisor Fracciones unitarias
3 2,6 (2/3) 53 30,318,795
5 3,15 55 30,330
7 4,28 57 38,114
9 6,18 59 36,236,531
11 6,66 61 40,244,488,610
13 8,52,104 63 42,126
15 10,30 65 39,195
17 12,51,68 67 40,335,536
19 12,76,114 69 46,138
21 14,42 71 40,568,710
23 12,276 73 60,219,292,365
25 15,75 75 50,150
27 18,54 77 44,308
29 24,58,174,232 79 60,237,316,790
31 20,124,155 81 54,162
33 22,66 83 60,332,415,498
35 30,42 85 51,255
37 24,111,296 87 58,174
39 26,78 89 60,356,534,890
41 24,246,328 91 70,130
43 42,86,129,301 93 62,186
45 30,90 95 60,380,570
47 30,141,470 97 56,679,776
49 28,196 99 66,198
51 34,102 101 101,202,303,606
Así por ejemplo la tercera fila equivale a la igualdad 2/7=1/4+1/28. La tabla es tan sencilla como impresionante. Es la más completa y extensa de todas las tablas aritméticas que se han encontrado. Posiblemente, durante siglos y siglos, fue la más utilizada por los antiguos escribas egipcios en problemas de repartos y en todas aquellas operaciones con números fraccionarios, cosa que ocurría muy a menudo a juzgar por los documentos que se conservan.
A finales del siglo XIX y en el siglo XX la tabla fue estudiada por muchos y prestigiosos matemáticos. Por ejemplo Sylvester en 1882 comentaba que era el método más elegante del antiguo Egipto de expresar fracciones en forma de suma de recíprocos.
No tenemos claro cómo fue elaborada esta tabla. Aunque el papiro de Rhind data del año 1650 a.C., tenemos la certeza que es una copia de otro mucho más antiguo, posiblemente del 2000 a.C. o mucho más anterior, lo que significa que ya conocían y utilizaban esta tabla desde tiempos inmemoriales. Y el mérito de ello, es que la suma de recíprocos que aparece en la tabla del Recto, es la más simple y acertada entre la enorme cantidad de posibilidades en que se puede descomponer cada una de las fracciones del tipo 2/x.
Para hacernos una idea del tino que tuvo el genial matemático que diseñó la tabla, debemos remontarnos al año 1967 de nuestra Era, cuando el profesor C.L. Hamblin de la Universidad del Sur de Gales programó una computadora electrónica para calcular todas las posibilidades existentes de la tabla del Recto. La programación se hizo de tal manera que la máquina descompusiera como sumas de fracciones unitarias, todas y cada una de las fracciones tipo 2/x que aparecen en la misma, siempre y cuando cada una de ellas no tuviese mas de 4 términos o sumas, al igual que ocurre en la tabla egipcia. El tiempo invertido por la máquina para ello fue de 5 horas. Evidentemente hoy en día con el avance de la informática se hubiese hecho mucho más rápido, pero por el tiempo de respuesta de la máquina, podemos hacernos una idea de lo laborioso del cálculo.
Se obtuvieron un total de 22.295 diferentes sumas de fracciones unitarias en las que se podían descomponer las 50 fracciones tipo 2/x de la tabla del Recto
Divisor Numero total de posibilidades Divisor Numero total de posibilidades
3 53 53 24
5 269 55 1128
7 320 57 645
9 516 59 20
11 384 61 7
13 436 63 1607
15 1158 65 865
17 479 67 14
19 273 69 500
21 1190 71 25
23 387 73 10
25 619 75 884
27 733 77 741
29 212 79 3
31 164 81 339
33 1016 83 3
35 1458 85 290
37 97 87 102
39 894 89 6
41 187 91 216
43 124 93 58
45 1967 95 148
47 56 97 8
49 371 99 710
51 595 101 1
Por ejemplo, la computadora sacó 1967 posibles descomposiciones de la fracción 2/45. De todas ellas, 7 son las más sencillas, pues contienen sólo dos términos. Analizando cada una de estas 7 posibilidades se observa que la más idónea para la antigua matemática egipcia es 1/30 + 1/90, que es la que aparece en la tabla, el resto de posibilidades contienen números más difíciles de tratar, son mayores, impares o primos (no divisibles por ningún número salvo por él mismo o la unidad).
Aunque este caso fue bastante sencillo de explicar, no fue así con otros, en los cuales el antiguo escriba egipcio no eligió descomposiciones de dos términos (que en un principio podríamos considerar como más simples y sencillas), sino que eligió, por sus propiedades numéricas, una descomposición de 3 términos e incluso en otros casos habiendo soluciones de 2 y 3 términos, eligió una de 4 términos por ser más adecuada para sus fines. Un ejemplo de ello lo tenemos con el caso 2/13. Sólo tiene una posibilidad como suma de dos términos (1/7 + 1/91), pero ésta no es la que aparece en la tabla del Recto, pues los denominadores son números impares, difícilmente de operar con ellos en cálculos sucesivos. De las 12 posibles descomposiciones, de 3 términos, facilitados por la computadora, la que aparece en la tabla es: 1/8 + 1/52 + 1/104, siendo ésta la más simple y además con los números pares más bajos que el resto. ¿Casualidad? o por el contrario ¿destreza numérica del antiguo escriba?
Pero hay más ejemplos que hacen que tengamos que borrar la palabra “casualidad” y admitir una destreza en el manejo de las fracciones como nunca se ha visto en la Antigüedad y de ello hace ya más de 4000 años. Uno de ellos, bastante curioso, es el caso de 2/29. La solución que aparece en la tabla tiene 4 términos, en concreto: 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232. Sin embargo la computadora presentó una posibilidad de 2 términos, 8 de 3 términos y 203 de 4 términos, entre la que estaba incluida la anterior, es decir la elegida por el escriba para la tabla. ¿Por qué no eligió la posibilidad que tiene 2 términos? La respuesta es sencilla, ésta es 1/15 + 1/435, números impares y además 435 era mucho más grande respecto a las otras posibilidades. Algo similar ocurrió con las 8 posibilidades de 3 términos, donde en todas las posibilidades hay números muy grandes, mayores de 435. Parece como si el diseñador de la tabla hubiese averiguado las 212 posibilidades que existían y se quedó con la mejor, a pesar de tener 4 términos, pero con los números más bajos y además todos pares. Otras como 2/89 sólo admitía 6 posibilidades de descomposición y todas ellas de 4 términos. La elegida para la tabla, fue la más sencilla, números más bajos y además todos pares.
Todos los resultados de la computadora fueron comparados y analizados con la tabla del Recto. Así por ejemplo la descomposición en fracciones unitarias de una de las más sencillas como 2/5 o 2/9 admitían 269 y 516 posibilidades respectivamente. Y de todas ellas las más simples y las más útiles para las operaciones que manejaban, eran por supuesto, las que aparecen en la tabla del Recto, todas las demás eran de 3 o 4 términos y con números mucho más grandes.
Una excepción
A pesar de lo sorprendente de los resultados hay que hacer constar que en la tabla se encuentra una posible excepción. No significa que la descomposición presentada no sea acertada, sino que existe otra más idónea. Se trata de la fracción 2/95 ya que la descomposición presentada en el papiro es: 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570, cuando hay otra más sencilla y con sólo 2 términos: 2/95 = 1/60 + 1/228. Puede que el escriba calculase esta descomposición a partir de 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114, ya que multiplicando los denominadores por 5 se obtiene la presentada en el Recto.
Posibles métodos utilizados en la elaboración de la Tabla del Recto
A la vista del análisis de la tabla surgen varias preguntas ¿Quién diseñó esta tabla? ¿Qué procedimiento utilizó? ¿Cuánto tiempo invirtió en su diseño? Aunque no podemos contestar a estas preguntas, se han desarrollado algunas ideas sobre el posible método que se utilizó. Algunas de ellas sugieren que fue una mezcla de procedimientos y otras que se siguió un único método sistemático e incluso otros autores sugieren que la tabla se elaboró en un periodo de unos varios años como consecuencia de la experiencia en el manejo de los números fraccionarios.
Una de las ideas más interesantes es el desarrollo de las fracciones cuyo denominador es múltiplo de 3, como 2/9, 2/15, 2/21, 2/27, etc., pues en todos estos casos, la solución vendría dada a partir de la siguiente igualdad: 2/3 = 1/2 + 1/6, de tal manera que para obtener cualquiera de las anteriores bastará multiplicar todos los denominadores por un número determinado, así pueden obtenerse todas las descomposiciones que aparecen en el Recto cuyo denominador es múltiplo de 3:
2/3*3 = 1/2*3 + 1/6*3 è 2/9 = 1/6 + 1/18
2/3*5 = 1/2*5 + 1/6*5 è 2/15 = 1/10 + 1/30
2/3*7 = 1/2*7 + 1/6*7 è 2/21 = 1/14 + 1/42
2/3*9 = 1/2*9 + 1/6*9 è 2/27 = 1/18 + 1/54
2/3*11 = 1/2*11 + 1/6*11 è 2/33 = 1/22 + 1/66
2/3*13 = 1/2*13 + 1/6*13 è 2/39 = 1/26 + 1/78
2/3*15 = 1/2*15 + 1/6*15 è 2/45 = 1/30 + 1/90
2/3*17 = 1/2*17 + 1/6*17 è 2/51 = 1/34 + 1/102
2/3*19 = 1/2*19 + 1/6*19 è 2/57 = 1/38 + 1/114
2/3*21 = 1/2*21 + 1/6*21 è 2/63 = 1/42 + 1/126
2/3*23 = 1/2*23 + 1/6*23 è 2/69 = 1/46 + 1/138
2/3*25 = 1/2*25 + 1/6*25 è 2/75 = 1/50 + 1/150
2/3*27 = 1/2*27 + 1/6*27 è 2/81 = 1/54 + 1/162
2/3*29 = 1/2*29 + 1/6*29 è 2/87 = 1/58 + 1/174
2/3*31 = 1/2*31 + 1/6*31 è 2/93 = 1/62 + 1/186
2/3*33 = 1/2*33 + 1/6*33 è 2/99 = 1/66 + 1/198
Podríamos pensar que este mismo método puede aplicarse para los múltiplos de 5, de 7, etc., pero el resultado que se obtiene en estos casos no coincide, en la mayoría de ellos, con el reflejado en el Recto y además nos quedaría por resolver como el antiguo escriba dedujo las descomposiciones cuyo denominador es primo, precisamente las más complicadas de resolver. Por tanto con este método puede explicarse 16 casos de los 50 que aparecen en el Recto, pero no puede aplicarse a los 34 restantes.
Un método propuesto por el autor, se basa en la utilización de dos reglas, una fija y otra móvil, en la primera se representan los números impares del 1 al 101 y en la segunda los números naturales con sus divisores, de tal manera que se hacen coincidir en función de la fracción que se quiere descomponer. Realizando unas sencillas operaciones es fácil deducir la descomposición más idónea, es decir la que aparece en todas las descomposiciones presentadas en el Recto.
Algunos autores suponen que esta tabla es el resultado de años de trabajo, de un conjunto de intentos y tanteos, de descubrimiento de procedimientos y su extensión a otros resultados. Si se coloca el Recto bajo la óptica del proceso de construcción antes que sobre los resultados, se tiene la impresión de que existen diversos procedimientos y que, con el tiempo, algunos se fueron mejorando y se extendieron, de tal manera que el resultado final presentado en el Recto posiblemente fue fruto de años de experiencia en el manejo de las operaciones con fracciones. Sin embargo, a pesar de todo, la tabla no deja de sorprender.
Referencias
Richard J. GILLINGS: Mathematics in the time of the pharaohs. Dover Publications, Inc. New York. 1972.
Richard J. GILLINGS: “Response to: Some comments R.J. Gillings’ analysis of the 2/n table in the Rhind papyrus” HISTORIA MATHEMATICA, Nº 2, Mayo 1978, pp 221-227.
G. ROBINS, C. SHUTE: The Rhind Mathematical Papyrus. British Museum Press. 1987
COUCHOUD, S.: Mathematiques egiptiennes. Recherches sur les conneissannces mathematiques del Egypte pharaonique. Paris, 1993.
J. M. GAIRÍN SALLÁN: Los enigmáticos cálculos del escriba Ahmes. SUMA 31, Junio 1999, pp. 55-66.
Carlos MAZA: Matemáticas en el antiguo Egipto, Universidad de Sevilla, 2003
A. Martínez: Las matemáticas egipcias y la tabla del recto, Revisa de Arqueología, Nº 287. año 2005, PP. 44-51.
