LOS POSTULADOS DE EUCLIDES……..Y MAS ALLÁ…
Q:. H:. Ap:. M:. Antonio J. Salvá Pando
F:. C:. R:. L:. S:. Luis Heysen Incháustegui Nº 3
GRAN ORIENTE DEL PERÚ
Considerando el gran interés mostrado por nuestros hermanos, respecto al ensayo anterior (4), el cual trataba acerca del Teorema de Pitágoras; he considerado por conveniente dedicar el presente Ensayo a los Postulados de Euclides y a las nuevas geometrías que surgieron posteriormente.
La masonería es la búsqueda eterna por encontrar el secreto funcionamiento del universo, un intento interminable por encontrar orden en al aparente caos, para esto las matemáticas son una herramienta imprescindible. Contar y medir, junto con el uso de la palabra son las primeras y básicas manifestaciones de la inteligencia. A ello la aritmética y la geometría son las dos ramas donde se sostiene esta búsqueda. La Masonería está convencida que Dios es un Geómetra y que la Creación es un gran libro escrito en el lenguaje de las Matemáticas
Es necesario mencionar que para los Franc-Masones, las formas de las propiedades geométricas tienen otro significado tanto en el plano simbólico como en el plano energético, ambos indisolubles.
En el presente ensayo solamente trataré del aspecto geométrico por constituir la base de las ciencias físicas y matemáticas así como la arquitectura y la ingeniería y ha hecho posible su desarrollo, tal como lo conocemos hoy en día. El presente ensayo servirá como parte de la secuencia lógica, para futuros Ensayos que el autor está preparando.
EUCLIDES
Según la tradición Euclides fue en Egipto alumno de Abraham, quien acompañado de su mujer Sara fue al país de Canaán, y se vio apremiado por el hambre yendo a refugiarse a Egipto, y como lo dice la tradición, "Abraham era hombre prudente y gran sabio. Conocía todas las VII ciencias y enseñó a los Egipcios la ciencia de la geometría".
Euclides (en griego ?????????, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego (325 - 265 A. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Tolomeo I. Todavía existen dudas alrededor del personaje por lo que se han considerado hasta tres hipótesis:
- Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
- Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
- Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
De acuerdo a la tradición, en una ocasión, el rey Tolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en Los Elementos para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos reales en la Geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la Geometría.
En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con lo que había aprendido de la Geometría: El maestro ordenó a su esclavo que Le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que ganara algo con lo que aprendía de Geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta.
LOS ELEMENTOS
Los Elementos (en griego: ????????) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides.
Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia. En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría Euclidiana.
Durante más de 20 siglos se le consideró la base de los conocimientos matemáticos en todo el mundo y todavía hoy se toma como fundamento de los cursos de geometría de la enseñanza secundaria y preuniversitaria.
Según se expuso en detalladamente en el Ensayo (4), el cual trataba sobre el Teorema de Pitágoras, en la proposición 1.47 de Los Elementos se encuentra la demostración del mencionado teorema, la cual se puede ver en la joya del Past Venerable Maestro y se muestra en la figura adjunta.
La mencionada Joya significa para los masones CONSTRUCTOR DE TEMPLOS
LOS POSTULADOS DE EUCLIDES
Los Postulados de Euclides, los cuales no necesitan demostración por ser evidentes, se enuncian de la siguiente manera:
- Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta.
- Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
- Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.
Este último, o quinto postulado puede ser interpretado como: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Tal como se ve en la figura final adjunta V’. Este postulado es el más controversial como veremos más adelante.
En base a estos cinco postulados se estructura en base a teoremas demostrados lógicamente, la Geometría Euclidiana que todos hemos aprendido en la escuela y con mayor detalle en la academia preuniversitaria, sobre todo en las que preparan para el ingreso a carreras de ingeniería. Dos de los teoremas más conocidos y que se demuestran en base a estos postulados son:
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso Teorema de Pitágoras.
Euclides también demostró que sólo podían existir cinco poliedros regulares, es decir que sus caras son iguales (llamados "sólidos cósmicos" por los pitagóricos). El filósofo Platón (428-348 AC) admiraba tanto estas figuras que no podía convencerse que el creador no las hubiera utilizado, y construyó su representación del mundo tomando esos cinco poliedros como elementos primarios.
El Octaedro (8 caras), El Icosaedro (20 caras), El Tetraedro (4 caras), el Cubo (6 caras) y El Dodecaedro (12 caras)
LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS
Muchos intentos se hicieron para demostrar el quinto postulado (el de las paralelas) a partir de los otros cuatro; muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos periodos de tiempo hasta que se encontraba el error.
La geometría elemental estaba en ese entonces envuelta en los problemas del postulado de las paralelas. D’Alembert, en 1767, la llamó el escándalo de la geometría elemental.
La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Para 1813 había progresado poco y escribió:
En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas...
Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Basándose en la negación del quinto postulado, aparecieron las llamadas Geometrías no Euclidianas.
Bernhard Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fundó este nuevo campo de la Geometría. En la figura adjunta podemos observar un ejemplo de la geometría elíptica bidimensional (llamada a veces Riemanniana)
que es un modelo de geometría no euclidiana de curvatura constante positiva que satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no el quinto. Si consideramos los meridianos sobre la superficie de la esfera, por ejemplo en nuestro planeta; en tal caso no se pueden trazar paralelas, porque los meridianos siempre se interceptan en los polos. En esta geometría la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre sumará más de 180º y solo se aproxima a la geometría de Euclides para áreas muy pequeñas. Riemann extendió esta geometría a n dimensiones, es decir 4, 5, 6……etc.lo que desafía la imaginación.
En los años 1820 dos jóvenes matemáticos que trabajaban de modo independiente,
János Bolyai y Nikolai Lobachevsky, publicaron sus modelos por los cuales establecían la posibilidad de un tipo de geometría alternativa, totalmente consistente, que es el que conocemos ahora como geometría hiperbólica de curvatura negativa. La superficie de una silla de montar tiene las propiedades de un espacio hiperbólico. Los ángulos decualquier triángulo que se trace sobre ella suman menos de 180º. Las líneas paralelas no permanecen a una distancia constante sino que divergen progresivamente entre sí, y por lo tanto se pueden trazar infinitas paralelas que pasen por un punto exterior a una línea. Esta nueva geometría también se aproxima a la Euclidiana para áreas pequeñas.
En la figura adjunta se puede comparar el quinto postulado de Euclides en la Geometría Euclidiana (1), la Geometría Elíptica de Riemann (2), y la Geometría Hiperbólica (3)
Todas estas ideas fueron recogidas por Albert Einstein, quien empleando las herramientas matemáticas creadas por la geometría de Bernhard Riemann y otros métodos matemáticos, logró construir la teoría geométrica de la gravedad que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General. Esta teoría nos proporciona una visión de la dinámica y evolución de nuestro universo a gran escala, y será motivo de un próximo Ensayo.
EL TEOREMA DE GÖDEL
Kurt Friedrich Gödel nació el 28 de abril de 1906, en Brünn la capital de la Moravia Austrohúngara (actualmente, República Checa) en una familia étnico-germana acomodada. Finalizó sus estudios de Matemáticas en la universidad de Viena en 1927.
El Teorema de Gödel es uno de los resultados más trascendentales de las matemáticas del siglo XX y posiblemente de toda la historia de las matemáticas, Por su importancia se le puede equiparar a la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein (Ensayo 3) o al Principio de Incertidumbre de Werner Heisenberg (Ensayo 1)
Gödel elaboró su notable teorema en 1931, a la edad de 25 años. Empleando la Lógica Simbólica demostró que no puede construirse ninguna rama útil de las matemáticas sobre un conjunto coherente de postulados, sin suscitarse problemas sin solución dentro del marco de los propios postulados. Para las matemáticas en su conjunto esto implica que la disciplina nunca será completa. Muchos lógicos piensan que el teorema de incompletud de Gödel asestó un impacto fatal al programa de formalización de Hilbert, que apuntaba a un formalismo matemático universal.
La existencia de un sistema incompleto no es en sí nada sorprendente. Por ejemplo, en el presente Ensayo, si se elimina el quinto postulado del paralelismo de la geometría euclídiana se obtiene un sistema incompleto, como hemos visto anteriormente. En el ensayo (4) vimos también como los Pitagóricos al aplicar el Teorema de Pitágoras con números enteros, a los cuales consideraban la esencia del universo, aparecían números irracionales como ?2, ?3, etc. Los cuales fueron ocultados por ellos mismos.
Einstein y el economista Morgenstern asesoraron y acompañaron a Gödel para el examen de su ciudadanía estadounidense, preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pusiera en riesgo su oportunidad. Cuando se mencionó brevemente el régimen nazi, Gödel le informó al juez que presidía que había descubierto una manera en que una dictadura pudiese instaurarse legalmente en los EE.UU., mediante una contradicción lógica en la Constitución. Ni el juez ni Einstein o Morgenstern, le permitieron a Gödel terminar la elaboración de su pensamiento y la ciudadanía le fue entregada.
El Teorema de Gödel tiene implicancias filosóficas trascendentales pues nos dice que nunca los sistemas lógicos que estén basados en postulados o axiomas estarán bien estructurados, pues aún aumentando el número de postulados siempre aparecerán proposiciones que no se podrán decidir si son ciertas o son falsas, dentro del mismo sistema.
En el caso de la Física, se pensaba en el Siglo XIX que con las Leyes de Newton y las Leyes del Electromagnetismo de Maxwell, todo se había resuelto; sin embargo en el Ensayo 1 se mostró cómo la Mecánica Cuántica nació para poder explicar el mundo subatómico que no se podían explicar con la Física clásica. Hasta ahora en pleno siglo XXI no existe una teoría satisfactoria que logre unir a la Mecánica Cuántica (el microcosmos) con la Teoría General de la Relatividad de Einstein (el macrocosmos). Ustedes QQ:. HH:. podrán ahora analizar y visualizar lo que sucede en sus respectivas actividades profesionales, en especial en las Ciencias Sociales, bajo la nueva óptica del Teorema de Gödel.
Si consideramos el Principio de Incertidumbre de Heisemberg (Ensayo 1), la Teoría del Caos (futuro Ensayo) y el Teorema de Gödel, nos encontramos con que por más que la ciencia avance será imposible llegar a comprender completamente al G:. A:. D:. U:. y sus leyes, por una simple y sencilla razón, todo ser humano o forma de inteligencia que pueda existir en el cosmos, somos parte del mismo sistema y por lo tanto nuestro conocimiento avanzará como persiguiendo un espejismo y nunca alcanzándolo.
Nosotros mismos QQ:. HH:. Como Masones nos esforzamos en pulir nuestra Piedra Bruta, para llegar a ser una Piedra Pulida, pero como sabemos y ahora lo tenemos más claro, nunca alcanzaremos la perfección absoluta.
REFERENCIAS
Los Pitagóricos y los números irracionales
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/los_pitagoricos_y_los_numeros_irracionales.html
Euclides y sus postulados
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.ht
Demostración de Euclides 1.47 del Teorema de Pitágoras
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/spip.php?article20
Biografía de Gauss
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/gauss/gau.htm
Geometrías no Euclidianas
http://soko.com.ar/matem/geom_no_eu.htm
El teorema de Gödel (pdf)
http://isaiasgarde.myfil.es/get_file?path=/careaga-alfrede-teorema-godel.pdf
El aporte de Gödel a la lógica matemática
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/64/historia_01.pdf
VIDEOS
Historia de las matemáticas, Grecia 1 al 6
http://www.youtube.com/watch?v=-44ynsrWYjk
Prueba del Teorema de Pitágoras con agua
http://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o&feature=related
Biografía de Gödel
http://www.dailymotion.com/video/x1sv56_kurt-godel_news
ENSAYOS ANTERIORES, ASP
1 La Dualidad Onda Partícula
http://es.scribd.com/doc/49510305/LA-DUALIDAD-ONDA-PARTICULA
2 El Ritmo en la Naturaleza
http://es.scribd.com/doc/53550083/53458724-ASP-Ensay
3 Las Dualidades en la Teoría de la Relatividad Especial
http://es.scribd.com/doc/59028474/ASP-Ensay-1
4 El Teorema de Pitágoras…. y más allá
http://es.scribd.com/doc/61398876/ASP-Ensayos-Masnicos-4-PERU
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